Question

已知三次函數f（x）的最高次項系數為a，三個零點分別為-1，0，3．
（1）若方程

f(x)

x

+2x+7a=0有兩個相等的實根，求a的值；
（2）若函數λ（x）=f（x）+2x²在區間(-∞，

a

3

)內單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數模型可設出函數解析式，代入方程

f(x)

x

+2x+7a=0，然后根據方程有兩個相等的實根，利用判別式為0建立等式關系，解之即可．
（2）λ（x）在(-∞，

a

3

)內單調遞減，可轉化成λ'（x）≤0在(-∞，

a

3

)恒成立，然后討論a，建立關于a的不等關系，解之即可．

解答：解：（1）依題意，設f（x）=ax（x+1）（x-3）
∵

f(x)

x

+2x+7a=0有兩個相等實根，
即ax²-（2a-2）x+4a=0有兩個相等實根，
∴△=（2a-2）²-4a•4a=0，
即a=

1

3

或a=-1．
（2）∵λ（x）=ax³-（2a-2）x²-3ax在(-∞，

a

3

)內單調遞減，
∴λ'（x）=3ax²-2（2a-2）x-3a≤0在(-∞，

a

3

)恒成立，
∴a=0或

a＜0 λ• a 3 =3a•( a 3 )2-2(2a-2)• a 3 -3a≤0

解得a=0或a≤-1

點評：本題主要考查了函數的單調性與導數的關系，以及恒成立問題，同時考查了等價轉化的思想和運算求解的能力，屬于基礎題．