Question

給出下列命題：①若a，b∈R⁺，a≠b，則a³+b³＞a²b+ab²；②若a，b∈R⁺，a＜b，則

a+m

b+m

＜

a

b

；③若

a

c2

＞

b

c2

，則ln a＞ln b；
④當x∈(0，

π

2

)時，sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

分析：對于三個命題分別判斷，正確的給出證明，錯誤的能舉出反例，是解答這類題目的重要方法，另外記住一些結論對捷達選擇或者填空題很有幫助．本題要一一作出解答．

解答：解：①∵a，b∈R⁺，a≠b，∴a+b＞0，（a-b）²＞0，∴a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）＞0，∴a³+b³＞a²b+ab²，此命題正確；
②∵a，b∈R⁺，a＜b，∴b-a＞0，∴

a+m

b+m

-

a

b

=

b(a+m)-a(b+m)

b(b+m)

=

m(b-a)

b(b+m)

＞0，∴

a+m

b+m

＞

a

b

，命題

a+m

b+m

＜

a

b

不正確；本題可以舉出反例如：設a=2，b=3，m=1，可驗證命題不正確；
③反例設a=-1，b=-2，

a

c2

＞

b

c2

成立，但是ln a，ln b均無意義；更談不上ln a＞ln b了；
④設t=sinx∈（0，1），則sinx+

2

sinx

=t+

2

t

≥2

t× 2 t

=2

2

，當且僅當t=

2

t

即sinx=

2

sinx

，sinx=

2

顯然不成立，此命題不正確．
綜上可知只有①正確．
故應選：B

點評：本題考查了命題的概念和命題的真假判斷，結合不等式知識，綜合考查了綜合法，分析法，反證法，比較作差法等不等式的證明方法；另外對均值不等式的應用題目設計很好地體現(xiàn)了學生容易出現(xiàn)的錯誤，很有針對性！