Question

已知f(x)=

1

4

x4+

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c．
（1）如果b=0，且f（x）在x=1時取得極值，求a的值，并指出這個極值是極大值還是極小值，說明理由；
（2）當a=-1時，如果函數y=f（x）的圖象上有三個不同點處的切線與直線x+2y+3=0垂直，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數f'（x）=x³+x²+ax，根據x=1是f（x）的極值點，求出a值，從而得出f'（x）=x³+x²-2x=x（x²-x-2=x（x-1）（x+2），再討論當0＜x＜1時，f'（x）＜0，當x＞1時，f'（x）＞0，從而得出結論．
（2）當a=-1時，f'（x）=x³+x²-x+b，直線x+2y+3=0的斜率為-

1

2

，依題意，方程x³+x²-x+b=2有三個不等的實根．設g（x）=x³+x²-x+b-2，利用導數求得g（x）極值，由函數的圖象與直線有三個不同的交點，尋求函數的極值點，得到極值，通過比較函數的極值與參數b之間的關系即可得到答案．

解答：解：（1）由題意f(x)=

1

4

x4+

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c，b=0，
∴f'（x）=x³+x²+ax，
∵x=1是f（x）的極值點，
∴f'（1）=a+2=0，a=-2．
此時，f'（x）=x³+x²-2x=x（x²-x-2）=x（x-1）（x+2）
所以0＜x＜1時，f'（x）＜0，當x＞1時，f'（x）＞0
因此f（x）在x=1處取得極小值．
（2）當a=-1時，f'（x）=x³+x²-x+b，直線x+2y+3=0的斜率為-

1

2

，
依題意，函數y=f（x）的圖象上有三個不同點處的切線與直線x+2y+3=0垂直
∴方程x³+x²-x+b=2有三個不等的實根．
設g（x）=x³+x²-x+b-2，
由g'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）=0，
得x₁=-1，x₂=

1

3

．
當x變化時，g'（x），g（x）的變化狀態如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

知，g（x）在x=-1處取得極大值，在x=

1

3

處取得極小值．
極大值為g（-1）=b-1，極小值為g（

1

3

）=b-

59

27

，
由b-1＞0，且b-

59

27

＜0，
得b的取值范圍：1＜b＜

59

27

．

點評：本題考查函數的導數以及導數的幾何意義，利用導數求解函數的單調性和極值問題，考查了二次函數的性質，綜合考查了函數與方程的思想，轉化與化歸的思想等數學思想，在求含參數的函數的單調區間時對學生的能力有較高的要求．