Question

（本小題滿分12分）

已知直線l：y=x，圓C₁的圓心為（3，0），且經過（4，1）點.

（1）求圓C₁的方程；

（2）若圓C₂與圓C₁關于直線l對稱，點A、B分別為圓C₁、C₂上任意一點，求|AB|的最小值；

（3）已知直線l上一點M在第一象限，兩質點P、Q同時從原點出發，點P以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，點Q以每秒個單位沿射線OM方向運動，設運動時間為t秒.問：當t為何值時直線PQ與圓C₁相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意，設圓的方程為　………1分

∵　圓經過點

∴　　　…………2分

∴　圓的方程為　　…………3分

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知，圓的圓心的坐標為，半徑為 

到直線的距離

　　　…………5分

∴　圓到直線的最短距離為　…………6分

∵　圓與圓關于直線對稱

∴　．　　　　　…………7分

方法二：∵圓與圓關于直線對稱.

∴ 圓圓心為（0，3），半徑為 ……………5分

∴ ||=

∴ =-2×= ………………7分

（Ⅲ）當運動時間為秒時，，

則　　　                  …………8分

由可設點坐標為（），

則　　       　

解得，即　   　　

∴　　　　　　　　

∴　直線方程為，即　……………10分

若直線與圓相切，則到直線的距離

　　…………11分

解得　

答：當時，直線與圓相切　　…………12分

考點：利用點的對稱求最值與圓的方程直線與圓的位置關系

點評：求與圓上的動點有關的距離最值問題通常先求出到圓心的距離