Question

已知函數（b為常數）.
（1）函數f(x)的圖像在點（1，f(1)）處的切線與g(x)的圖像相切，求實數b的值；
（2）設h(x)=f(x)+g(x),若函數h(x)在定義域上存在單調減區間，求實數b 的取值范圍；
（3）若b>1,對于區間[1,2]上的任意兩個不相等的實數x₁,x_2,都有|f(x₁)-f(x₂)|> |g(x₁)-g(x₂)|成立，求b的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：1）由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程，再和g（x）聯立，利用根的判別求解即可．（2）通過求h′（x），結合函數h（x）在定義域上存在單調減區間，轉化為存在性問題求b的取值范圍．（3）要使得對于區間[1，2]上的任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，利用導數的幾何是切線的斜率，得到對于區間[1，2]上的任意實數x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等關系，從而得出b的取值范圍．解：（1）f（x）=lnx得f′（x）=，函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=1，切線方程為：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它與g（x）的圖象相切，將y=x-1代入得x-1=x²-bx，即x²-（b+1）x+1=0，∴△=（b+1）²-2=0，解得b=±-1，即實數b的值為±-1．（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x²-bx，∴h′（x）=+x-b，根據函數h（x）在定義域（0，+∞）上存在單調減區間，∴存在x＞0，使得+x-b＜0，即b＞+x，由于當x＞0時， +x≥2，∴b＞2．∴實數b 的取值范圍（2，+∞）．
（3）對于區間[1，2]上的任意實數x，f′（x）=∈[，1]． g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，要使得對于區間[1，2]上的任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，若用注意到f（x）是增函數，不妨設x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），問題轉化為|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等價于-f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）從而f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），即f（x）-g（x）與f（x）+g（x）都是增函數，利用導數的幾何是切線的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，即＞|b-x|，于是x-≤b≤x+即（x-）_max≤b≤（x+）_min，∴≤b≤2．則b的取值范圍[（1）；
（2）b的取值范圍為
點評：對于已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，，則可得f′（x）≤0．