Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓x2+

y2

2

=1有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，可得c=2，利用與橢圓x2+

y2

2

=1有相同的離心率，可求得a=2

2

，進而可得b=2，故可求橢圓的標準方程．
（2）設直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程與橢圓方程聯立

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

可得（1+2k²）x²+4kx-6=0，利用韋達定理有x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

，要使右焦點F在圓內部，則有

AF

•

BF

＜0，用坐標表示可得不等式，從而可求出k的范圍．

解答：解：（1）∵焦距為4，∴c=2…（1分）
又∵x2+

y2

2

=1的離心率為

2

2

…（2分）
∴e=

c

a

=

2

a

=

2

2

，∴a=2

2

，b=2…（4分）
∴標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1…（6分）
（2）設直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+4kx-6=0…（7分）
∴x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

由（1）知右焦點F坐標為（2，0），∵右焦點F在圓內部，∴

AF

•

BF

＜0…（8分）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•

-6

1+2k2

+(k-2)•

-4k

1+2k2

+5=

8k-1

1+2k2

＜0…（11分）
∴k＜

1

8

…（12分）
經檢驗得k＜

1

8

時，直線l與橢圓相交，∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，

1

8

）…（13分）

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量與解析幾何的連續，由較強的綜合性，解題的關鍵是將右焦點F在圓內部，轉化為

AF

•

BF

＜0