Question

已知函數f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）的圖象關于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性并加以證明；
（3）當a＞1，x∈（t，a）時，f（x）的值域是（1，+∞）求a與t的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，易得f（x）為奇函數，則f（-x）+f（x）=0，代入解析式變形可得log_a

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=0，由對數的性質可得

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=1，解可得m=1或m=-1，分別驗證m=1、m=-1是否符合對數函數的定義域要求，即可得答案；
（2）由（1）可得f（x）=log_a

1+x

x-1

，設任意的1＜x₁＜x₂，有作差法可得f（x₂）-f（x₁）=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

，分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論f（x₂）-f（x₁）的符號，即可得答案；
（3）求出f（x）的定義域，可得（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），分析可得（t，a）⊆（1，+∞），由（2）中得到的單調性，可得f（a）=1且

t+1

t-1

=0，解可得答案．

解答：解：（1）因為函數f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）的圖象關于原點對稱，
即f（x）為奇函數，則f（-x）+f（x）=0，
log_a

1+mx

-x-1

+log_a

1-mx

x-1

=log_a

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=0，
即

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=1，
解可得，m=1或m=-1，
當m=1時，

1-mx

x-1

=-1＜0，不合題意，舍去；
當m=-1時，

1-mx

x-1

=

1+x

x-1

，符合題意，
故m=-1；
（2）當0＜a＜1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，此時f（x）為增函數，當a＞1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，此時f（x）為減函數，證明如下
由（1）得m=-1，則f（x）=log_a

1+x

x-1

，
任取1＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=log_a

1+x2

x2-1

-log_a

1+x1

x1-1

=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

，
又由1＜x₁＜x₂，則0＜

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜1，
當0＜a＜1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，此時f（x）為增函數，
當a＞1時，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，此時f（x）為減函數，
（3）由（1）知，f（x）=log_a

1+x

x-1

，

1+x

x-1

＞0，解可得，x＞1或x＜-1，
則f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）⊆（∞，-1）不成立，則必有（t，a）⊆（1，+∞），
此時，f（x）的值域為（1，+∞），又由函數f（x）為減函數，
必有f（a）=1且

t+1

t-1

=0；
解可得，t=-1，a=1+

2

；
故t=-1，a=1+

2

．

點評：本題考查對數函數的綜合應用，涉及函數的單調性、奇偶性以及值域等性質，注意（1）中，求出m的值必須進行驗證，其次要牢記對數函數的有關性質．