Question

已知函數f(x)=

x2

x+m

的圖象經過點（4，8）．
（1）求該函數的解析式；
（2）數列{a_n}中，若a₁=1，S_n為數列{a_n}的前n項和，且滿足a_n=f（S_n）（n≥2），
證明數列{

1

Sn

}成等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（3）另有一新數列{b_n}，若將數列{b_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：記表中的第一列數b₁，b₂，b₄，b₇，…，構成的數列即為數列{a_n}，上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當b81=-

4

91

時，求上表中第k（k≥3）行所有項的和．

Answer 1

分析：（1）把點的坐標代入求出m即可求該函數的解析式；
（2）先利用條件求出an=

Sn2

Sn-2

．再把a_n換掉整理后即可證明數列{

1

Sn

}成等差數列，然后利用求出的S_n來求數列{a_n}的通項公式；
（3）先求出b₈₁所在位置，再利用每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，求出公比，再代入求和公式即可．

解答：解（1）由函數f(x)=

x2

x+m

的圖象經過點（4，8）得：m=-2，
函數的解析式為f(x)=

x2

x-2

（2分）
（2）由已知，當n≥2時，a_n=f（S_n），即an=

Sn2

Sn-2

．
又S_n=a₁+a₂++a_n，
所以Sn-Sn-1=

Sn2

Sn-2

，即2S_n+S_n•S_n-1=2S_n-1，（5分）
所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，（7分）
又S₁=a₁=1．
所以數列{

1

Sn

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，
即Sn=

2

n+1

．
所以當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
因此an=

1，n=1 - 2 n(n+1) ，n≥2

（9分）
（3）設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．
因為1+2++12=

12×13

2

=78，
所以表中第1行至第12行共含有數列{b_n}的前78項，
故b₈₁在表中第13行第三列，（11分）
因此b81=a13q2=-

4

91

．
又a13=-

2

13×14

，
所以q=2（13分）
記表中第k（k≥3）行所有項的和為S，
則S=

ak(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-2k)

1-2

=

2

k(k+1)

(1-2k)(k≥3)（16分）

點評：本題是對數列和函數的綜合考查．涉及到等比數列的求和問題，在對等比數列求和時，一定要先判斷公比的取值．