Question

.(本小題滿分12分）

 如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面為正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AD,E為棱PC上的一點,PD丄平面

(I)求證:E為PC的中點；

(II)若N為CD的中點，M為AB上的動點，當直線MN與平面ABE所成的角最大時,求二面角的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）過作交于,由

可知

四點共面，…………………2分

又因為

∴,

∵

∴在中，,………………………4分

∴可得E為PC的中點．……………………6分

（Ⅱ）連結

連結，則為直線MN與平面ABE所成的角．

在中，

∴最小時，最大，此時．

所以M為AB中點，……………………………9分

則．

由，

可知

設，

.……………12分

法二（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標系,不妨設,則，.………………2分

設,

，…………………4分

因為  , ，

，

即,.……………………6分

（Ⅱ）設，,

由（Ⅰ）知面的法向量為，

設MN與面ABE所成角為,

當t=時，最大，此時M為AB中點,…………………9分

平面NEM的法向量為 設平面CEM的法向量為

   而

    令

，

.……………………12分

 

【解析】略