Question

下列命題中：
①若a，b，m都是正數(shù)，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則b＞a；      
②已知a，b都為實數(shù)，若|a+b|＜|a|+|b|，則ab＜0；       
 ③若a，b，c為△ABC的三條邊，則a²+b²+c²＞2（ab+bc+ca）；
④若a＞b＞c，則

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①若a，b，m都是正數(shù)，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則b＞a，考查函數(shù)f(x)=

a+x

b+x

的單調(diào)性即可；      
②已知a，b都為實數(shù)，若|a+b|＜|a|+|b|，則ab＜0，由兩數(shù)的符號進行判斷；       
 ③若a，b，c為△ABC的三條邊，則a²+b²+c²＞2（ab+bc+ca），利用三角形兩這之差小于第三邊判斷；
④若a＞b＞c，則

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，根據(jù)數(shù)的取值范圍判斷．

解答：解：①若a，b，m都是正數(shù)，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則b＞a，考察函數(shù)f(x)=

a+x

b+x

=1+

a-b

b+x

，由

a+m

b+m

＞

a

b

，a，b，m都是正數(shù)，知函數(shù)f(x)=

a+x

b+x

是一個增函數(shù)，故有a-b＜0，此命題正確；      
②已知a，b都為實數(shù)，若|a+b|＜|a|+|b|，則ab＜0，由絕對值不等式的意義知，此兩數(shù)符號相反，故命題正確；       
 ③若a，b，c為△ABC的三條邊，則a²+b²+c²＞2（ab+bc+ca）；三角形中兩邊之差小于第三邊，所以（a-b）²＜c²；（b-c）²＜a²；（c-a）²＜b²；展開后相加整理即可得a²+b²+c²＜2（ab+bc+ca），故此命題不對；
④若a＞b＞c，則

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，此命題正確，因為a＞b＞c，故a-b＞0，b-c＞0，c-a＜0，且b-c+c-a=b-a＜0故有

1

b-c

+

1

c-a

＞0，即

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，成立
綜上①②④是正確命題
故選C．

點評：本題考查不等關系與不等式，解題的關鍵是對四個命題涉及的知識熟練掌握，利用不等式的運算規(guī)則，通過推理論證判斷出命題的大小，本題在驗證過程中用到了構造函數(shù)的技巧，絕對值不等式的判斷，三角形中的關系等，涉及到的知識較多，綜合性強，是考查能力的題．題后應好好體會，解題過程中所用的技巧．