Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調區間；
（2）設函數f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先閱讀材料：對于函數圖象上的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數圖象上存在點M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當x₀=

x1+x2

2

時，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的定義求得函數的定義域，根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，利用f′（1）=0，代入導函數化簡即可得到a與b的關系式，用a表示出b；然后分別令導函數大于0和小于0得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應的x的范圍即分別為函數的遞增和遞減區間；
（2）根據（1）求出函數f（x）的最大值為g（a），構造函數φ（a）=ln（1+

a

2

）-

a

2

，利用導數 研究該函數的最值，即可證明結論；
（3）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據斜率公式求出直線AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=

1

x

-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

，
當f′（x）＞0時，得-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
當f′（x）＜0時，得-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
∴當f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
（2）證明：g（a）=f（1）=

a

2

-1，f′（x）=-

(ax+1)(x-1)

x

（x＞0），
令φ（a）=ln（1+

a

2

）-

a

2

，則φ′（a）=

-a

2(2+a)

＜0，
∴φ（a）在（0，+∞）上是減函數，
∴φ（a）＜φ（0）=0，即ln（1+

a

2

）-

a

2

＜0，
（3）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，
則k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

a(x2+x1)

2

+a-1，
f′（

x2+x1

2

）=

2

x2+x1

-

a(x2+x1)

2

+a-1，
又k_AB=f′（

x2+x1

2

）得

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x2+x1

，
∴ln

x2

x1

=t，（t＞1），則lnt=2-

4

t+1

，（t＞1），此式表示有大于1的實數根，
令h（t）=lnt+

4

t+1

-2（t＞1），則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴h（t）是（1，+∞）上的增函數，
∴h（t）＞h（1）=0，與lnt=2-

4

t+1

，（t＞1）有大于1的實數根相矛盾，
∴函數f（x）的圖象上不存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．