Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定義在R上的函數，其圖像交x軸于A、B、C三點，若點B的坐標為(2，0)且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．

(1)求實數c的值；

(2)在函數f(x)圖像上是否存在一點M(x₀，y₀)，使f(x)在點M的切線斜率為3b?若存在，求出點M的坐標；不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）因為f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的單調性，所以x=0是f(x)的一個極值點

∴(0)=0  ∴c=0 

（2）因為f(x)交x軸于點B(2,0),所以

8a+4b+d=0即d=-4(b+2a) 

令(x)=0得3ax²+2bx=0,解得x₁=0,x₂=- 

因為f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反單調性,

所以-≥2且-≤4

即有-6≤≤-3 

假設存在點M（x₀,y₀），使得f(x)在點M的切線斜率為3b,則(x₀)=3b

即3ax₀²+2bx₀-3b=0  所以△=4ab(+9)

∵-6≤≤-3,∴ab＜0,+9＞0,∴△＜0

故不存在點M（x₀,y₀），使得f(x)在點M的切線斜率為3b.