Question

（2013•懷化二模）受日月引力的作用，海水會發生漲落，這種現象叫潮汐．在通常情況下，船在海水漲潮時駛進航道，靠近碼頭，卸貨后返回海洋．某港口水的深度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，記作：y=f（t），下表是該港口在某季每天水深的數據：

t（h）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（m）	10.0	13.1	9.9	7.0	10.1	13.0	10.0	7.0	10.0

經過長期觀察y=f（x）的曲線可以近似地看做函數y=Asinωt+k的圖象．
（Ⅰ）根據以上數據，求出函數y=f（t）的近似表達式；
（Ⅱ）一般情況下，船舶航行時船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的（船舶停靠時，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船想在同一天內安全進出港，問它至多能在港內停留多長時間（忽略進出港所需時間）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數y=f（t）可以近似地看做y=Asinωt+k，由數據知它的周期T=12，振幅A=3，k=10，從而可得函數解析式；
（Ⅱ）該船進出港口時，水深應不小于6.5+5=11.5m，而在港口內，永遠是安全的，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數y=f（t）可以近似地看做y=Asinωt+k，
∴由數據知它的周期T=12，振幅A=3，k=10…（3分）
∵

2π

ω

=12，∴ω=

π

6

．
故y=3sin

π

6

t+10…（6分）
（Ⅱ）該船進出港口時，水深應不小于6.5+5=11.5m，而在港口內，永遠是安全的，
由3sin

π

6

t+10≥11.5得sin

π

6

t≥

1

2

…（9分）
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈N），
在同一天內，取k=0.1，則1≤t≤5或13≤t≤17…（11分）
故該船最早能在凌晨1時進港，最遲在下午17時離港，在港口內最多停留16小時．…（12分）

點評：本題考查三角函數模型的建立，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．