Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面，

，.是的中點，

　　（Ⅰ）求證：平面⊥平面；　　　　　　　

　　 （Ⅱ）求二面角所成平面角的余弦值；

　　 （Ⅲ）求點到平面的距離.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）      

    

    而                       

                                      

（Ⅱ）連結(jié)、，取中點， 連結(jié) ， 則,

∵平面，   ∴平面，

過作交于，連結(jié)，

則就是二面角所成平面角.           

由，則.

在中，   解得

因為是的中點，所以             

而，由勾股定理可得             

                

（Ⅲ）連結(jié)，在三棱錐中，

      

        點到底面的距離，

則由，即

  求得

所以點到平面的距離是.          

解法二：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)，

(0，2，1)，(0，0，2).                               

∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，  ＝(－2，0，0)，

＝(0，2，1) ，＝(2，4，0)，                 　      　

（Ⅰ） 

又              　

   

    而

∴平面⊥平面.　　　　　　　　　  

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量

由即

∴=.                           

平面的法向量＝(0，0，2)，

所以二面角所成平面角的余弦值是. 

（Ⅲ） 設(shè)點到平面的距離為，

＝(2，0，0)，  =.            

則=

所以點到平面的距離是.