Question

（本小題滿分12分）

已知數列，滿足：，當時，；對于任意的正整數，

．設數列的前項和為.

（Ⅰ）計算、，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）求滿足的正整數的集合.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ） 

【解析】（1）由，當時，；令可求出猜想用數學歸納法證明.或者判斷數列是等差數列求解；（2）由和，兩式相減結合可求出錯位相減法求出，解不等式，即解得.

（Ⅰ）在中，取，得，又，故 

同樣取，可得 

由及兩式相減，可得，

所以數列的奇數項和偶數項各自成等差數列，公差為，而，

故是公差為的等差數列，   ……………………………………………… （6分）

(注：猜想而未能證明的扣分；用數學歸納法證明不扣分.)

（Ⅱ）在中，令，得

由與兩式相減，可得，

化簡，得.

即當時，.

經檢驗也符合該式，所以的通項公式為.

∴.

.

兩式相減，得.

利用等比數列求和公式并化簡,得.

可見，對，.經計算，，

注意到數列的各項為正，故單調遞增，

所以滿足的正整數的集合為  ……………………………… （12分）