Question

（本題滿分20分）設直線l₁：y＝k₁x＋1，l₂：y＝k₂x－1，其中實數k₁，k₂滿足k₁k₂＋1＝0.

（Ⅰ）證明：直線l₁與l₂相交；（Ⅱ）試用解析幾何的方法證明：直線l₁與l₂的交點到原點距離為定值．（Ⅲ）設原點到l₁與l₂的距離分別為d₁和d₂求d₁+d₂的最大值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）反證法：假設l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行，有k₁＝k₂，代入k₁k₂＋1＝0，得＋2＝1.此與k₁為實數的事實相矛盾，從而k₁≠k₂，即l₁與l₂相交。（Ⅱ）由（Ⅰ）知由方程組解得交點P的坐標(x，y)為，而x²＋y²＝²＋²＝＝＝1.即l₁與l₂的交點到原點距離為1

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）反證法：假設l₁與l₂不相交，則l₁與l₂平行，有k₁＝k₂，代入k₁k₂＋1＝0，得＋2＝1.此與k₁為實數的事實相矛盾，從而k₁≠k₂，即l₁與l₂相交。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知由方程組

解得交點P的坐標(x，y)為

而x²＋y²＝²＋²＝＝＝1.

即l₁與l₂的交點到原點距離為1

方法二：交點P的坐標(x，y)滿足故知x≠0，從而

代入k₁k₂＋1＝0，得＋1＝0.整理后，得x²＋y²＝1得證。

（Ⅲ）方法一：

方法二：為矩形，

當且僅當時取“=”

考點：本題考查了兩直線的位置關系及距離公式的運用

點評：關于兩條直線位置關系的問題，常常單獨出現在選擇題和填空題中，或作為綜合題的一部分出現在解答題中，主要考查以下三種：一、判斷兩條直線平行和垂直；二、求點到直線的距離、平行線間的距離；三、求直線的交點或夾角及利用它們求參數等