Question

已知數列滿足：

是數列的前項和 

（1）對于任意實數，證明數列不是等比數列；

（2）對于給定的實數，求數列的通項，并求出S_n；

（3）設是否存在實數，使得對任意正整數，都有若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）證明：假設存在一個實數，使｛a_n｝是等比數列，則有,   

即（）²=²

矛盾.所以｛a_n｝不是等比數列. 

（2）因為b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=-(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n  

當λ≠－18時，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，

∴(n∈N⁺).

故當λ≠-18時，數列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數列 。，

當λ=－18時，，

（3）由（2）知，當λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.            

∴λ≠-18，

要使a<S_n<b對任意正整數n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺) 

  

當n為正奇數時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=, f(n)的最小值為f(2)= ,  

于是，由①式得a<-(λ+18)<          

當a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；          

當b>3a存在實數λ，使得對任意正整數n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3a-18）。