Question

(本小題滿分13分)
已知函數f(x)＝－x2＋ax－lnx(a∈R).
(1)求函數f(x)既有極大值又有極小值的充要條件；
(2)當函數f(x)在[，2]上單調時，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）a>2
（2）a≤2或a≥

解：(1)∵f′(x)＝－2x＋a－＝(x>0)，
∴f(x)既有極大值又有極小值?方程2x2－ax＋1＝0有兩個不等的正實數根x1，x2.(3分)
∴a>2，
∴函數f(x)既有極大值又有極小值的充要條件是a>2.(6分)
(2)f′(x)＝－2x＋a－，令g(x)＝2x＋，
則g′(x)＝2－，g(x)在[，)上遞減，在(，2]上遞增.(8分)
又g()＝3，g(2)＝，g()＝2，
∴g(x)max＝，g(x)min＝2.(10分)
若f(x)在[，2]單調遞增，則f′(x)≥0即a≥g(x)，∴a≥.
若f(x)在[，2]單調遞減，則f′(x)≤0，即a≤g(x)，∴a≤2.
所以f(x)在[，2]上單調時，則a≤2或a≥.(13分)