Question

真命題：“經過雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=5，則符合條件的直線有3條”將此命題推廣到一般的雙曲線，并且使已知命題是推廣命題的特例，則推廣的真命題可以是______．

Answer 1

推廣的真命題可以是：經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=

2b2

a

時，則符合條件的直線有3條．證明如下：
若AB只與雙曲線右支相交時，|AB|的最小距離是通徑，長度為

2b2

a

，
此時只有一條直線符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時，此時|AB|的最小距離是實軸兩頂點的距離，長度為2a，距離無最大值，
結合雙曲線的對稱性，可得此時有2條直線符合條件；
綜合可得，有3條直線符合條件．
故答案為：經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點作直線l交雙曲線于M、N兩點，當|MN|=

2b2

a

時，則符合條件的直線有3條．