Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且
，求直線l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）設橢圓C的長半軸長為a（a>0），短半軸長為b（b>0），
則2b=4，。            2分
解得a=4，b=2。                      3分
因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，
所以橢圓C的方程為標準方程，且為。     5分
（Ⅱ）設直線l的方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）,     6分
由方程組，消去y，
得，      7分
由題意，得， 8分
且，  9分
因為
， 11分
所以，解得m=±2,
驗證知△＞0成立，
所以直線l的方程為。      13分
考點：橢圓方程幾何性質及直線與橢圓相交弦長問題
點評：直線與橢圓相交問題常借助與韋達定理設而不求簡化計算，本題涉及到的弦長公式，其中k是直線斜率，是兩交點橫坐標