Question

（2011•深圳二模）已知函數f（x）滿足如下條件：當x∈（-1，1]時，f（x）=ln（x+1），x∈R，且對任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）+1．
（1）求函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求當x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*時，函數f（x）的解析式；
（3）是否存在x_k∈（2k-1，2k+1]，k=0，1，2，…，2011，使得等式

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=4019×22012+2017成立？若存在就求出x_k（k=0，1，2，…，2011），若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x∈（-1，1]時，f（x）=ln（x+1），求出f′（0）得到切線的斜率，然后根據點斜式可求出切線方程；
（2）根據f（x+2）=2f（x）+1，所以當x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*時，即x-2k∈（-1，1]，從而f（x）=2f（x-2）+1=2²f（x-4）+2+1=2³f（x-6）+2²+2+1=…=2^kf（x-2k）+2^k-1+2^k-2+…+2+1，代入解析式即可求出所求；
（3）考慮函數g（x）=2^kx-f（x），x∈（2k-1，2k+1]，k∈N，求導函數，根據導數符號研究函數的單調性，可以得到當x∈（2k-1，2k+1]，k∈N時，g（x）≥g（2k）=（2k-1）2^k+1，所以，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)≥

2011

k=0

[(2k-1)2k+1]，而

n

k=0

[(2k-1)2k+1]=1•21+3•22+…+(2n-1)2n+n，然后利用錯位相消法求出等式右邊的和，從而證得存在唯一一組實數x_k=2k，k=0，1，2，…，2011，使得等式

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=4019•2n+1+2017成立．

解答：解 （1）x∈（-1，1]時，f（x）=ln（x+1），f′(x)=

1

x+1

，（2分）
所以，函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y-f（0）=f′（0）（x-0），即y=x．（3分）
（2）因為f（x+2）=2f（x）+1，
所以，當x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*時，x-2k∈（-1，1]，（4分）
f（x）=2f（x-2）+1=2²f（x-4）+2+1=2³f（x-6）+2²+2+1
=…=2^kf（x-2k）+2^k-1+2^k-2+…+2+1=2^kln（x-2k+1）+2^k-1（16分）
（3）考慮函數g（x）=2^kx-f（x），x∈（2k-1，2k+1]，k∈N，
則g′(x)=2k-

2k

x-2k+1

=

2k(x-2k)

x-2k+1

，
當2k-1＜x＜2k時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；
當x=2k時，g′（x）=0；
當2k＜x＜2k+1時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
所以，當x∈（2k-1，2k+1]，k∈N時，g（x）≥g（2k）=（2k-1）2^k+1，
當且僅當x=2k時，g（x）=g（2k）=（2k-1）2^k+1． （10分）
所以，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)≥

2011

k=0

[(2k-1)2k+1]
而

n

k=0

[(2k-1)2k+1]=1•21+3•22+…+(2n-1)2n+n，
令S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）2ⁿ，則2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
兩式相減得，-S_n=1•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）2ⁿ⁺¹=1•21+

2•22(2n-1-1)

2-1

-(2n-1)2n+1=-(2n-3)2n+1-6．
所以，S_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6，
故

2011

k=0

[(2k-1)2k+1]=S2011+2011=4019•22012+2017．（12分）
所以，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)≥

2011

k=0

[(2k-1)2k+1=4019•2n+1+2017．
當且僅當x_k=2k，k=0，1，2，…，2011時，

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=

2011

k=0

g(xk)=

2011

k=0

[(2k-1)2k+1=4019•2n+1+2017．
所以，存在唯一一組實數x_k=2k，k=0，1，2，…，2011，
使得等式

2011

k=0

[2kxk-f(xk)]=4019•2n+1+2017成立．  （14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數在某點處的切線，以及函數與方程的綜合運用和錯位相消法求和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．