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ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
3
．
（1）求證：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（3）設二面角A-PC-B的大小為θ，試求tanθ的值．
證明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，BE如圖所示：

∵O為BD的中點，則EO=
1
2
PC=
1
2
PA2+AC2
=
7
2
，且OE∥PC
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
3
．
∴OB=
1
2
BD=
5
2
，BE=
2

∴|cos∠EOB|=|
OE2+OB2-BE2
2OE•OB
|=
3
7
；
即異面直線PC與BD所成角的余弦值為
3
7
；
（3）過A作AE⊥PC交PC于E，過E作EF⊥PC交PB于F，連接AE．則二面角A-PC-B的平面角為∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=
7
，∴AE=
AP•AC
PC
=
2
3
7
，PE=
PA2-AE2
=
4
7
，
在△PBC中，PB=
5
，BC=2，∴cos∠BPC=
PC2+PB2-BC2
2PC•PB
=
4
35
，
在Rt△PEF中，tan∠EPF=
19
4
，∴EF=PE•tan∠EPF=
19
7

在△PAF中，PF=
PE2+EF2
=
5
，cos∠FPA=
PA
PB
=
2
5
，∴AF=1，
在△AEF中，cosθ=
2
3
19
，∴tanθ=
21
6
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC的四個面中，直角三角形的個數有（　　）
A．4個B．3個C．2個D．1個

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，求證：AD⊥PB．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在正三棱柱ABC-A1B1C1（底面三角形ABC是正三角形的直棱柱）中，點D，E分別是BC，B1C1的中點，BC1∩B1D=F，BC=
2
BB1．求證：
（1）平面A1EC∥平面AB1D；
（2）平面A1BC1⊥平面AB1D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2
2
，側棱長為4，E、F分別是棱AB，BC的中點，EF與BD相交于G．
（1）求證：平面EFB1⊥平面BDD1B1；
（2）求點B到平面B1EF的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面α，β，γ，且平面α∥平面β，平面α⊥平面γ；
求證：平面β⊥平面γ

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點，
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：PA∥平面MBD；
（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知A（1，0，2），B（1，-3，1），點M在y軸上且到A、B兩點的距離相等，則M點坐標為（　　）
A．（-1，0，0）B．（0，-1，0）C．（0，0，1）D．（0，1，0）

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同步練習冊答案