Question

今有一小船位于d=60 m寬的河邊P處,從這里起,在下游l=80 m的L處河流變成“飛流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游(與河岸平行),水速大小為5 m/s,如圖所示,為了使小船能安全渡河,船的劃速不能小于多少?當劃速最小時,劃速方向如何?

Answer 1

解法一:設船的劃速為v_劃,方向與上游河岸的夾角為α,如下圖所示,將v_劃正交分解為v₁,v₂,則

v₁=v_劃cosα,v₂=v_劃sinα.

船同時參與兩個分運動:一個是沿v₂方向的速度為v₂的勻速直線運動,另一個是沿v_水方向的速度為(v_水-v₁)的勻速直線運動,這兩個分運動的時間t₁和t₂必相等.設船到達對岸時,極其靠近河流與瀑布的交界處.

由t₁=,t₂=,

可得=,

即=,注意到d=60 m,l=80 m,v_水=5 m/s,

有=,

∴v_劃=.

令y=3cosα+4sinα=5()

=5sin(α+β),其中tanβ=,β≈37°.

顯見,當sin(α+β)=1時,y_max=5,v_劃有最小值為3 m/s.

此時α=90°-37°=53°.

解法二:在題設條件下,船的臨界合速度沿下圖中的PQ方向,設PA=v_水,從A向PQ作垂線,垂足為B,有向AB即表示最小劃速的大小和方向,v_劃最小=v_水sinθ,

而sinθ==

==0.6(θ=37°),

故(v_劃)_min=5×0.6=3(m/s),劃速方向與解法一相同.