Question

為了拓展網絡市場，騰訊公司為QQ用戶推出了多款QQ應用，如“QQ農場”、“QQ音樂”、“QQ讀書”等． 市場調查表明，QQ用戶在選擇以上三種應用時，選擇農場、音樂、讀書的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

6

．現有甲、乙、丙三位QQ用戶任意選擇以上三種應用中的一種進行添加．
（Ⅰ）求三人所選擇的QQ應用互不相同的概率；
（Ⅱ）記ξ為三人中選擇的應用是QQ農場與QQ音樂的人數之和，求ξ的分布列與數學期望Eξ

Answer 1

分析：（I）由題意第i名用戶選擇農場，音樂，讀書三款應用依次為事件A_i，B_i，C_i，（i=1，2，3），則此事件之間是相互獨立事件，利用獨立事件同時發生的概率公式即可；
（II）由題意設3位用戶選擇的應用是QQ讀書的人數是，由已知η～B（3，

1

6

），且ξ=3-η，故該隨機變量符合二項分布，利用分布列的定義及期望定義即可求解．

解答：解：記第i名用戶選擇農場，音樂，讀書三款應用依次為事件A_i，B_i，C_i，（i=1，2，3），由題意知：A₁，A₂，A₃相互獨立，B₁，B₂，B₃，相互獨立，C₁，C₂，C₃相互獨立，A_i，B_j，C_k且i，j，k互不相同），且P(A1)=

1

2

，   P(B1)=

1

3

 ，P(C1)=

1

6

，
（I）他們選擇的應用互不相同的概率P=

A

3 3

•P(A1B1C1)=

1

6

，
（II）設3位用戶選擇的應用是QQ讀書的人數是η，
由已知η～B（3，

1

6

），且ξ=3-η，
所以P（ξ=0）=P（η=3）=

C

3 3

(

1

6

)3=

1

216

，P（ξ=1）=P（η=2）=

C

2 3

(

1

6

)2

5

6

=

15

216

，
P（ξ=2）=P（η=1）=

C

1 3

 (

1

6

 )(

5

6

)2=

75

216

，P（ξ=3）=P（η=0）=

C

0 3

(

5

6

)3=

125

216

故ξ的分布列為：

∴ξ的數學期望Eξ=0×

1

261

+1×

15

261

+22×

75

261

3×

125

261

=25．

點評：此題考查了學生準確理解提議的能力，還考查了離散型隨機變量的定義及分布列，還有隨機變量的期望定義，關鍵分清題意，用準事件的概率公式．