Question

已知命題p：關于x的不等式2^|x-2|＜a的解集為∅；命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由不等式2^|x-2|＜a的左邊為大于或等于1的正數，可知當a≤1時不等式2^|x-2|＜a的解集為φ，而函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R，說明相應的二次函數圖象開口向上，△＜0，此時不等式ax²-x+a＞0解集為R．再根據兩個命題一個是真另一個是假，可以從兩個命題至少一個正確的范圍內，減去它們均正確的范圍，即可得出實數a的取值范圍．

解答：解：由不等式2^|x-2|＜a的解集為φ得a≤1．…（4分）
由函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R知：ax²-x+a＞0恒成立．
故

a＞0 △=1-4a2

＜0⇒a＞

1

2

…（8分）
由命題p和q有且僅有一個正確，
得a的取值范圍是CA∪B(A∩B)=(-∞，

1

2

]∪(1，+∞)…（12分）

點評：本題考查了復合命題真假的判斷，屬于中檔題．解題應該注意指數函數的值域，與二次不等式恒成立的意義．