Question

三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直,，                  ,分別是,的中點．     
（1）求直線MN與平面A₁B₁C所成的角；                    
  （2）在線段AC上是否存在一點E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值       為?若存在，求出AE的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）90⁰；（2）存在，AE=

（1）本題適合利用空間向量求解.要知道線面角的向量求法.
（2）利用向量的方法在線段AC上的一點E，就要用到向量共線的條件，表示出E的坐標，然后根據二面角的余弦值，確定E坐標中的參數的值，進而可求出AE的長.
解：（1）如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標系B₁-XYZ

則B₁（0，0，0),C(0,2,2),A₁(2,0,0),B(0,0,2),則M(1,0,2), A(2,0,2)，(0,2,2) ,N(1,1,1)------------2分
=(0,2,2),(0,1,-1),=(2,0,0）
因為 ，且,--------4分
所以MN⊥平面A₁B₁C
即MN與平面A₁B₁C所成的角為90⁰ ------------------5分
（2）設E（x,y，z),且=，    --------------6分
則（x-2,y,z-2)=（-2,2,0)
解得x=2-2,y=2,z=2，=(2-2,2,2) ---------7分
由（1）可知平面的法向量為(0,1,-1)，設平面的法向量為，
則，
則可解得，     ----------------9分  
于是-------11分
由于點E在線段上，所以=，此時AE=    ----------12分