Question

例1．求下列函數的值域
（1）y=

1+sinx

2+cosx

（2）y=

ex-e-x

ex+e-x

（3）y=sinx+cosx+sinxcosx
（4）y=x+

1

x

(2≤x≤5)（5）y=

x+1

x+2

．

Answer 1

分析：（1）原式可化為：sinx-2cosx=2y-1，∴

5

sin（x+α）=2y-1，即sin（x+α）=

2y-1

5

，根據|sin（x+α）|≤1，即可求解；
（2）設e^x=t，原式可化為：y=

t2-1

t2+1

=1-

2

t2+1

，由t＞0即可得出答案；
（3）令sinx+cosx=T，（1）由同角三角函數關系sinxcosx=

(sinx+cosx)2-((sinx)2+ (cosx)2)

2

，把（1）式代入，得sinxcosx=

T2-1

2

，所以y=T+

T2-1

2

，根據T的取值范圍即可求解；
（4）先求導，然后根據函數的單調性即可得出答案；
（5）設

x+1

=t，則t≥0，函數可化為：yt²-t+y=0，根據判別式≥0及根與系數的關系即可求解；

解答：解：（1）原式可化為：sinx-2cosx=2y-1，
∴

5

sin（x+α）=2y-1，即sin（x+α）=

2y-1

5

，
根據|sin（x+α）|≤1，
∴-1≤

2y-1

5

≤1，解得：

1- 5

2

≤y≤

1+ 5

2

；
（2）設e^x=t，原式可化為：y=

t2-1

t2+1

=1-

2

t2+1

，
∵t＞0，
∴原函數的值域為：（-1，+∞）；
（3）令sinx+cosx=T…①
由同角三角函數關系sinxcosx=

(sinx+cosx)2-((sinx)2+ (cosx)2)

2

，
把①式代入，得sinxcosx=

T2-1

2

，
所以y=T+

T2-1

2

，
整理得，y=

1

2

（T+1）²-1，
而sinx+cosx=

2

sin（x+π/4）∈[-

2

，

2

]
所以y在T[∈[-

2

，

2

]時，不單調
當T=-1時，y取得最小值=-1
當T=

2

時，y取得最大值=

1

2

+

2

故值域[-1，

1

2

+

2

]；
（4）y=x+

1

x

，
∴y′=1-

1

x2

，∵2≤x≤5，
∴y′＞0，
∴原函數為增函數，
∴y的最大值為：5+

1

5

=

26

5

，y的最小值為：2+

1

2

=

5

2

，故值域為[

5

2

，

26

5

]；
（5）∵y=

x+1

x+2

，設

x+1

=t，則t≥0，函數可化為：yt²-t+y=0，當y=0時，x=-1，
當y≠0時，∴△=1-4y²≥0，

1

y

＞0，
∴0＜y≤

1

2

，
故原函數的值域為：[0，

1

2

]．

點評：本題考查了函數的值域，難度較大，關鍵是掌握以上幾種求函數值域的方法．