Question

已知F₁，F₂分別為雙曲

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，若

|PF2|2

|PF1|

的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（0，3]
• C、（1，3]
• D、（0，2]

Answer 1

分析：由定義知：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₂|=2a+|PF₁|，

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a，當且僅當

4a2

|PF1|

=|PF1|，即|PF₁|=2a時取得等號．再由焦半徑公式得雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：由定義知：|PF₂|-|PF₁|=2a，
|PF₂|=2a+|PF₁|，

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a，
當且僅當

4a2

|PF1|

=|PF1|，
即|PF₁|=2a時取得等號
設P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半徑公式得：
|PF₁|=-ex₀-a=2a
ex₀=-2a
e=-

3a

x0

≤3
又雙曲線的離心率e＞1
∴e∈（1，3]．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意焦半徑公式的合理運用．