Question

（本小題12分）如圖，一只船在海上由西向東航行，在處測得某島的方位角為北偏東角，前進后在處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍范圍內有暗礁，現該船繼續東行．
（I）若，問該船有無觸礁危險？如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自處向東航行多少距離會有觸礁危險？
（II）當與滿足什么條件時，該船沒有觸礁危險？

Answer 1

（I）該船自向東航行會有觸礁危險．
（II）時，該船沒有觸礁危險．

解：（Ⅰ）作，垂足為，
由已知，，所以，
所以，，
所以，
所以該船有觸礁的危險．
設該船自向東航行至點有觸礁危險，
則，
在△中，，，
，，
所以，（）．
所以，該船自向東航行會有觸礁危險．
（Ⅱ）設，在△中，由正弦定理得，，
即，，）
而，
所以，當，即，
即時，該船沒有觸礁危險．