Question

（2010•寧德模擬）設t＞0，數列{a_n}是首項為t，公差為2t的等差數列，其前n項和為S_n，若對于任意n∈N^*，

Sn

an

＞

1-t

恒成立，則t的取值范圍是

0＜t≤1

．

Answer 1

分析：先求出數列的通項公式和前n項和，然后將

Sn

an

=

n

2 t n- t

＞

1-t

對于任意n∈N^*恒成立轉化成(

n

2n-1

)min＞

(1-t)t

，然后令g（n）=

n

2n-1

，然后利用導數研究函數的單調性，從而求出g（n）＞

1

2

，從而得到關于t的不等式，解之即可，注意定義域．

解答：解：∵數列{a_n}是首項為t，公差為2t的等差數列
∴a_n=t+（n-1）×2t=2tn-t
∴S_n=

(a1+an)n

2

=

(t+2tn-t)n

2

=tn²
∴

Sn

an

=

t n

2tn-t

=

n

2 t n- t

＞

1-t

對于任意n∈N^*恒成立，
即(

n

2n-1

)min＞

(1-t)t

令g（n）=

n

2n-1

，g'（n）=

2n-1-2n

(2n-1)2

=

-1

(2n-1)2

＜0
∴g（n）=

n

2n-1

在[1，+∞）為單調減函數，則當n→∞時，g（n）→

1

2

∴

1

2

≥

(1-t)t

，且t＞0解得0＜t≤1
故答案為：0＜t≤1

點評：本題主要考查了等差數列的通項與求和，以及恒成立問題和數列與不等式的綜合，同時考查了轉化的思想，以及利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．