Question

已知橢圓9x²＋2y²＝18上任意一點(diǎn)P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在線段PQ上，且，點(diǎn)M的軌跡為曲線E．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)若過(guò)定點(diǎn)F(0，2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H(點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間)，且滿足的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(I)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，是橢圓上一點(diǎn)，則Q(x0，0)，M(x，y) 　　由已知得：x0＝x，y0＝3y代入橢圓方程得 　　9x2＋18y2＝18即x2＋2y2＝2為曲線E的方程．　　　　　　　　4分 　　(II)設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2) 　　當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH的斜率為k 　　則直線GH的方程為：y＝kx＋2，　　　　　　　　　　　　　　5分 　　代入x2＋2y2＝2，得：(＋k2)x2＋4kx＋3＝0 　　由△＞0，解得：k2＞　　　　　　　　　　　　　　　　6分 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(2) 　　∴將(1)代入(2)整理得：　　　　　　9分 　　 　　又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1　　　　　　13分 　　當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，直線GH的方程為 　　∴λ＝ 　　∴所求λ的范圍為≤λ＜1　　　　　　　　　　14分