Question

（08年湖北卷文）（本小題滿分14分）

    已知數(shù)列,其中為實數(shù)，為正整數(shù).

    （Ⅰ）證明：當

（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)n，都有

     若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

（Ⅱ）證明：∵

                 

                                      

又由上式知

故當數(shù)列｛b_n｝是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當由（Ⅱ）得于是

       

         當時，，從而上式仍成立.

         要使對任意正整數(shù)n , 都有

          即

          令

          當n為正奇數(shù)時，當n為正偶數(shù)時，

          

           于是可得

           綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有

          的取值范圍為

【試題解析】第（1）問問的是證明 “不是等比數(shù)列”，這樣的問題顯然用“反證法”；第（2）問要先求和再解建立不等式。

【高考考點】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式基礎(chǔ)知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理能力。

【易錯提醒】本題主要是，沒有掌握解題的基本方法，再就是沒有分類討論。

【備考提示】對等比數(shù)列、等差數(shù)列、數(shù)求和的知識要熟練掌握，數(shù)列中要特別注意遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)。