Question

已知函數f（x）=（x²+ax+1）e^x，g（x）=（b+2）x²．
（Ⅰ）當a=1時，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線恰與曲線y=g（x）相切，求實數b的值；
（Ⅱ）當a=b＜0，對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，求出曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程，與y=g（x）聯立，利用判別式，可求實數b的值；
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）≥g（x₂），等價于f（x）_min≥g（x）_max，即可求實數b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=[x²+（a+2）x+a+1]e^x=（x²+3x+2）e^x，…（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=1，∴切線為：y=2x+1，…（4分）
由得：（b+2）x²-2x-1=0，
∴△=4+4（b+2）=0得：b=-3…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=（x+1）（x+b+1）e^x=0得：x=-1或x=-1-b，…（7分）
∵b＜0，∴-1-b＞-1
①當-1-b≥1，即b≤-2時，在[-1，1]上，f'（x）≤0，此時f（x）在[-1，1]單調遞減，
∴f（x）_min=f（1）=（b+2）e，此時g（x）_max=g（0）=0，
∴（b+2）e≥0，得：b≥-2．
∴b=-2…（10分）
②當-1-b＜1，即-2＜b＜0時，f（x）在（-1，-1-b）單調遞減，（-1-b，1）單調遞增，
∴，g（x）_max=g（±1）=b+2，
∴（b+2）e^-1-b≥b+2，得：e^-1-b≥1，∴-2＜b≤-1…（13分）
綜上可知：-2≤b≤-1…（14分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，利用f（x）_min≥g（x）_max，是解題的關鍵．