Question

（本小題滿分14分）根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；。

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數列{y_n}的一個通項公式y_n，并證明你的結論；

（Ⅲ）求。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）猜想，證明見解析。

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由框圖，知數列   ……2分

∴       ……4分

（Ⅱ）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80.由此，猜想 …2分

證明：由框圖，知數列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2    ∴

∴                      ……4分

∴數列{y_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數列。 ∴+1=3·3^n－1=3ⁿ

∴=3ⁿ－1（）          ……6分

（Ⅲ）=

=

記S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①

則3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹  ②             ……2分

①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹

=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹

=2×=

∴ ……3分

又1+3+…+（2n－1）=n²   ∴.……4分