Question

已知平面內點M（-3，2），N（5，-4），l是經過點A（-1，-2）且與MN垂直的直線，動點P（x，y）滿足

PM

•

PN

=-21．
（1）求直線l的方程與動點P的軌跡Σ的方程；
（2）在軌跡Σ上任取一點P，求P在直線l右下方的概率．

Answer 1

（1）由題意kMN=

-4-2

5-(-3)

=-

3

4

，kl=-

1

kMN

=

4

3

…（2分），
所以直線l的方程為y-(-2)=

4

3

[x-(-1)]，即4x-3y-2=0…（3分），
又

PM

=(-3-x，2-y)，

PN

=(5-x，-4-y)…（4分），
由

PM

•

PN

=-21得（-3-x）（5-x）+（2-y）（-4-y）=-21…（5分），
整理得，軌跡方程為（x-1）²+（y+1）²=4…（6分）
（2）軌跡Σ是圓心為C（1，-1）、半徑r=2的圓…（7分），
C到直線l的距離d=

4×1-3×(-1)-2

5

=1…（8分），
所以d=1＜r，直線l與圓Σ相交…（9分），
設交點為E、F，則cos

1

2

∠ECF=

d

r

=

1

2

…（10分），所以∠ECF=

2π

3

…（11分），
所以圓C的優弧EF的長為r•(2π-∠ECF)=

8π

3

…（12分），
因為P在直線l右下方，所以P在優弧EF上，所求概率為P=

8π 3

2πr

=

2

3

…（14分）