Question

求直線a：2x+y-4=0關于直線l：3x+4y-1=0對稱的直線b的方程．

Answer 1

分析：法一：使用到角公式求所求直線斜率，求得結果；
法二：利用垂直平分來求解對稱直線方程．
法三：利用求軌跡方程的方法來求對稱直線方程．

解答：解：由
2x+y-4=0，
3x+4y-1=0，
方法一：設直線b的斜率為k，又知直線a的斜率為-2，直線l的斜率為-

3

4

．
則

- 3 4 -(-2)

1+(- 3 4 )×(-2)

=

k-(- 3 4 )

1+k(- 3 4 )

．
解得k=-

2

11

．
代入點斜式得直線b的方程為
y-（-2）=-

2

11

（x-3），
即2x+11y+16=0．
方法二：在直線a：2x+y-4=0上找一點A（2，0），設點A關于直線l的對稱點B的坐標為（x₀，y₀），
由3×

2+x0

2

+4×

0+y0

2

-1=0，

y0-0

x0-2

=

4

3

，
解得B（

4

5

，-

8

5

）．
由兩點式得直線b的方程為

y-(-2)

-2-(- 8 5 )

=

x-3

3- 4 5

，
即2x+11y+16=0．
方法三：設直線b上的動點P（x，y）關于l：3x+4y-1=0的對稱點Q（x₀，y₀），則有

3×

x+x0

2

+4×

y+y0

2

-1=0，

y-y0

x-x0

=

4

3

．
解得x₀=

7x-24y+6

25

，y₀=

-24x-7y+8

25

．
Q（x₀，y₀）在直線a：2x+y-4=0上，
則2×

7x-24y+6

25

+

-24x-7y+8

25

-4=0，
化簡得2x+11y+16=0是所求直線b的方程．

點評：本題考查直線關于直線對稱問題，三種方法各有優勢，本題是基礎題．