Question

如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝AC，D、E、F分別為線段AC、A1A、C1B的中點．

(1)證明：EF∥平面ABC；

(2)證明：C1E⊥平面BDE.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】證明：(1)取BC的中點G，連結AG、FG.

因為F為C1B的中點，所以FG∥=C1C.

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E為A1A的中點，所以FG∥=EA.

所以四邊形AEFG是平行四邊形.所以EF∥AG.

因為EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF∥平面ABC.

(2)因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，所以A1A⊥BD.

因為D為AC的中點，BA＝BC，所以BD⊥AC.

因為A1A∩AC＝A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.

因為C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.

根據題意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB，

所以EB2＋C1E2＝C1B2.從而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.

因為BD∩EB＝B，BD平面BDE,EB平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.