Question

設函數，，已知與有且僅有一個公共點．

(1)求m的值；

(2)對于函數，若存在a，b，使得關于的不等式對于定義域上的任意實數恒成立，求a的最小值以及對應的的解析式．

Answer 1

（1）令，即，

可得，設，

則，

令，得．

當時，，遞增；當時，，遞減．

考慮到時，，

時，；

時，．

考慮到，故，因此．………………………………4分

（2）由（1）知，．

，可知．      ………………………………6分

（ⅰ）由對恒成立，

即對恒成立，

所以，解得①．……………………8分

（ⅱ）由對恒成立，

即對恒成立，

設，，

則，令，得．

當時，，遞增；當時，，遞減．

故，

則須，即得②．

由①②得③．               ……………………10分

存在a，b，使得③成立的充要條件是：不等式④有解．

……………………12分

不等式④可化為，即，

令，則有，設，

則，

可知在上遞增，上遞減．

又，，，

所以在區間內存在一個零點，

故不等式的解為，即，得．

因此a的最小值為2，代入③得，故，

對應的的解析式為．        ………………………………16分