Question

已知點A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  3

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意先求出準線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設出切點，并求導，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，解出方程求出切點，再由兩點的斜率公式求出BF的斜率．

解答：解：∵點A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準線上，
即準線方程為：x=-2，
∴p＞0，-

p

2

=-2即p=4，
∴拋物線C：y²=8x，在第一象限的方程為y=2

2

x

，
設切點B（m，n），則n=2

2

m

，
又導數y′=2

2

•

1

2

•

1

x

，則在切點處的斜率為

2

m

，
∴

n-3

m+2

=

2

m

即

2

m+2

2

=2

2

m-3

m

，
解得

m

=2

2

（-

2

2

舍去），
∴切點B（8，8），又F（2，0），
∴直線BF的斜率為

8-0

8-2

=

4

3

，
故選D．

點評：本題主要考查拋物線的方程和性質，同時考查直線與拋物線相切，運用導數求切線的斜率等，是一道基礎題．