Question

（2013•奉賢區二模）動圓C過定點（1，0），且與直線x=-1相切．設圓心C的軌跡Γ方程為F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲線Γ上一定點P（1，2），方向向量

d

=(1，-1)的直線l（不過P點）與曲線Γ交與A、B兩點，設直線PA、PB斜率分別為k_PA，k_PB，計算k_PA+k_PB；
（3）曲線Γ上的一個定點P₀（x₀，y₀），過點P₀作傾斜角互補的兩條直線P₀M，P₀N分別與曲線Γ交于M，N兩點，求證直線MN的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）過點C作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|CF|=|CN|，由拋物線的定義知，點C的軌跡為拋物線．
（2）設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率-1，過不過點P的直線方程為y=-x+b，代入拋物線方程得y²+4y-4b=0，利用根與系數的關系及斜率公式，計算kAP+kBP=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

 的值，從而得出結論．
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），計算 kMN=

y2-y1

x2-x1

的解析式．設MP的直線方程為y-y₀=k（x-x₀），代入拋物線方程利用根與系數的關系求得 y₁+y₂的值，從而求得k_MN的值，從而得出結論．

解答：解：（1）過點C作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|CF|=|CN|，
即動點C到定點F與定直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義知，點C的軌跡為拋物線．
其中（1，0）為焦點，x=-1為準線，所以軌跡方程為y²=4x．
（2）證明：設 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率-1．
過不過點P的直線方程為y=-x+b，由

y2=4x y=-x+b

 得  y²+4y-4b=0，則y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），kAP+kBP=

y1-2

x1-1

+

y2-20

x2-1

=

y1-2

y 2 1 4 -1

+

y2-2

y 2 2 4 -1

=

4

y1+2

+

4

y2+2

=

4(y1+y2+4)

(y1+2)(y2+2)

=0．
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 kMN=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

=

4

y1+y2

（***）．
設MP的直線方程為y-y₀=k（x-x₀），
由

y2=4x y-y0=k(x-x0)

，可得y2-

4

k

y+

4y0

k

-4x0=0，
則y0+y1=

4

k

，∴y1=

4

k

-y0．
同理y0+y2=-

2p

k

，得y2=-

4

k

-y0．
代入（***）計算得：y₁+y₂=-2y₀ ，∴kMN=-

2

y0

（為定值）．

點評：本題主要考查拋物線的定義，圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，直線的斜率公式，屬于中檔題．