Question

（2011•江蘇模擬）在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，面積S_△ABC=6．
（Ⅰ）求△ABC的三邊的長；
（Ⅱ）設P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊AC，BC，AB的距離分別為x，y和z，求x+y+z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理將題中條件角的關系轉化成邊的關系，得到直角三角形ABC，再結合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長．
（2）欲求x+y+z的取值范圍，利用坐標法，將三角形ABC放置在直角坐標系中，通過點到直線的距離將求x+y+z的范圍轉化為x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)，最后結合線性規劃的思想方法求出范圍即可．

解答：解：設AB=c，AC=b，BC=a．
（Ⅰ）

bccosA=9 bcsinA=12

⇒tanA=

4

3

，sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
bc=15，

sinB

sinC

=cosA⇒

b

c

=

3

5

，
由

bc=15 b c = 3 5

⇒

b=3 c=5

，
用余弦定理得：a=4…（7分）
（Ⅱ）2S△ABC=3x+4y+5z=12⇒x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)
設t=2x+y，

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

由線性規劃得0≤t≤8．
∴

12

5

≤x+y+z≤4．…（13分）

點評：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數量積的運算、簡單線性規劃思想方法的應用，屬于中檔題．