Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上．問：應如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km²）．

Answer 1

分析：根據題意建立相應的函數模型是解決本題的關鍵．為了方便解題，可以建立適當的坐標系，通過坐標之間的關系建立矩形面積與動點坐標之間的函數關系，利用導數作為工具求解相應函數的最值問題．

解答：解：以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）
依題意可設拋物線的方程為x²=2py，且C（2，4）．∴2²=2p•4，∴p=

1

2

．
故曲線段OC的方程為y=x²（0≤x≤2）．
設P（x，x²）（0≤x≤2）是曲線段OC上的任意一點，則|PQ|=2+x，|PN|=4-x²
∴工業園區面積S=|PQ|•|PN|=（2+x）（4-x²）=8-x³-2x²+4x．
∴S′=-3x²-4x+4，令S′=0?x₁=

2

3

，x₂=-2，又∵0≤x＜2，∴x=

2

3

．
當x∈[0，

2

3

）時，S′＞0，S是x的增函數；
當x∈（

2

3

，2）時，S′＜0，S是x的減函數．
∴x=

2

3

時，S取到極大值，此時|PQ|=2+x=

8

3

，|PN|=4-x2=

32

9

，
S=

8

3

×

32

9

=

256

27

≈9.5（km²）．而當x=0時，S=8．
所以當x=

2

3

即|PQ|=

8

3

，|PN|=

32

9

，矩形的面積最大為S_max=9.5（km）²．
答：把工業園區規劃成長為

32

9

km，寬為

8

3

km時，工業園區的面積最大，最大面積為9.5（km）²．

點評：本題考查函數模型的應用問題，首先要建立矩形面積的函數關系式，可以通過坐標之間的關系實現這一過程，對所找到的函數關系利用導數作為工具解決該最值問題，體現了導數在求解函數最值中的工具作用．實現了實際問題的數學化．