Question

（文科做）函數f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求得函數的導數，利用函數在某一點處導數的幾何意義：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程組求解參數．
（2）由（1）中得到的函數解析式y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同的交點，轉化為方程
f（x）=有三個不相等的實根，進一步轉化為函數g（x）=f（x）-的圖象與x軸有三個不同的交點，于是利用函數導數可得新函數g（x）的極值，通過判斷極值的符號可得結論．
解答：解：（1）由題意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3且f（2）=5，
∴即解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3． （6分）
（2）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，=x²+x+3+m，
則由題意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個不相等的實根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的圖象與x軸有三個不同的交點，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），則g（x），g'（x）的變化情況如下表．

x				4	（4，+∞）
g'（x）	+		-		+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數f（x）的極大值為，極小值為g（4）=-16-m．y=f（x）的圖象與的圖象有三個不同交點，則有：解得．（12分）
點評：本題考查函數的導數以及導數的幾何意義，利用導數求解函數的單調性和極值問題，綜合考查了函數的零點，考查了函數與方程的思想，轉化與化歸的思想．