Question

如圖，在長方體AC中，AB=BC=2，AA₁=

2

，E、F分別是面A₁C₁，面BC₁的中心，求：
（1）AF和BE所成的角．
（2）AA₁與平面BEC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．可得

AF

、

BE

的坐標，從而算出

AF

•

BE

=0，由此即可得到AF和BE所成的角為90°．
（2）根據AA₁∥BB₁，可得BB₁與平面BEC₁所成角等于AA₁與平面BEC₁所成角．由 VB1-BEC1= VB-B1EC1利用等體積轉換，代入題中數據算出B₁到平面BEC₁的距離等于1，再根據直線與平面所成角的定義與性質，可得AA₁與平面BEC₁所成角的大小．

解答：解：（1）以DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，可得
A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，

2

），F（1，2，

2

2

）
∴

AF

=（-1，2，

2

2

），

BE

=（-1，-1，

2

）
可得

AF

•

BE

=-1×（-1）+2×（-1）+

2

2

×

2

=0
因此

AF

⊥

BE

，即AF和BE所成的角為90°；
（2）∵長方體AC中，AA₁∥BB₁，
∴BB₁與平面BEC₁所成角等于AA₁與平面BEC₁所成角．
設點B₁到平面BEC₁的距離等于d，則
V B1-BEC1=V  B-B1EC1，即

1

3

S △BEC1×d=

1

3

S △B1EC1 ×BB₁
∵BE=

BB12+B1E2

=

BB12+ 1 4 A 1C12

=

2+ 1 4 (22+22)

=2，EC₁=

1

2

A₁C₁=

2

，∠BEC₁=90°
∴S △BEC1=

1

2

BE×EC₁=

2

∵S △B1EC1 =

1

4

SA1 B1C1D1=1，
∴

1

3

×

2

×d=

1

3

×1×

2

，解之得d=1．
設BB₁與平面BEC₁所成角為α，則sinα=

d

BB1

=

2

2

，得α=45°，
∴BB₁與平面BEC₁所成角為45°，即AA₁與平面BEC₁所成角等于45°．

點評：本題在長方體中求異面直線所成角的大小和直線與平面所成角的大小，著重考查了長方體的性質和利用空間向量研究異面直線所成角、直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．