Question

已知拋物線y=-

x2

2

與過點M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點，O為原點．若OA和OB的斜率之和為1．
（1）求直線l的方程； 
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線的方程聯立得到根與系數關系，再利用斜率計算公式及OA和OB的斜率之和為1．即可得出k．
（2）解法1：利用根與系數的關系可得|x1-x2|=

4k2+8

=2

3

，|OM|=1．再利用S△AOB=

1

2

|x1-x2| |OM|=

3

即可．
解法2：利用弦長公式|AB|=

1+K2

|x1-x2|=

1+K2

4k2+8

=2

6

．及點到直線的距離公式可得h=

1

2

．利用S△AOB=

1

2

|AB|•h=

3

．即可．

解答：解：（1）顯然直線l的斜率必存在，設直線l的方程為y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 y=- x2 2

得x²+2kx-2=0，
∴x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2．
∵

y1

x1

+

y2

x2

=1，
∴

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2k-

x1+x2

x1x2

=2k-

-2k

-2

=1，解得k=1
所以直線l的方程為y=x-1．
（2）解法1：∵|x1-x2|=

4k2+8

=2

3

，|OM|=1．
∴S△AOB=

1

2

|x1-x2| |OM|=

3

．
解法2：∵|AB|=

1+K2

|x1-x2|=

1+K2

4k2+8

=2

6

．
h=

1

2

．
S△AOB=

1

2

|AB|•h=

3

．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、斜率計算公式、弦長公式及其三角形的面積計算公式扥公式解題的關鍵．