Question

設曲線y=（ax﹣1）e^x在點A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=（1﹣x）e^﹣x在點B（x₀，y₂）處的切線為l₂．若存在，使得l₁⊥l₂，則實數a的取值范圍為         ．

Answer 1

解析試題分析：根據曲線方程分別求出導函數，把A和B的橫坐標x₀分別代入到相應的導函數中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據兩條切線互相垂直得到斜率乘積為﹣1，列出關于等式由解出，然后根據為減函數求出其值域即可得到a的取值范圍．
函數y=（ax﹣1）e^x的導數為y′=（ax+a﹣1）e^x，
∴l₁的斜率為，
函數y=（1﹣x）e^﹣x的導數為y′=（x﹣2）e^﹣x
∴l₂的斜率為，
由題設有k₁•k₂=﹣1從而有
∴a（x₀²﹣x₀﹣2）=x₀﹣3
∵得到x₀²﹣x₀﹣2≠0，所以，
又a′=，另導數大于0得1＜x₀＜5，
故在（0，1）是減函數，在（1，）上是增函數，
x₀=0時取得最大值為=；
x₀=1時取得最小值為1．
∴
考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；函數的值域；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．
點評：此題是一道綜合題，考查學生會利用導數求切線的斜率，會求函數的值域，掌握兩直線垂直時斜率的關系