Question

已知函數是偶函數，a為實常數．
（1）求b的值；
（2）當a=1時，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函數y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由；
（3）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知可得，，
且函數的定義域為D=．
又y=f（x）是偶函數，故定義域D關于原點對稱．
于是，b=0．
又對任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．
因此所求實數b=0． …（3分）
（2）由（1）可知，．
由的圖象，
知：f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（-∞，0）上是減函數
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在區間[m，n]上是增函數．
∴有 ，
即方程，2x²-2x+1=0，
∵△=4-8＜0，
∴不存在正實數m，n，滿足題意．…（7分）
（3）由（1）可知，
．的圖象，
知f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（-∞，0）上是減函數
因y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m、n同號．
①當0＜m＜n時，f（x）在區間[m，n]上是增函數，
有，
即方程，2x²-2ax+1=0有兩個不相等的正實數根，
因此，
解得． …（10分）
②當m＜n＜0時，f（x）在區間[m，n]上是減函數，
有，
化簡得（m-n）a=0，a=0
綜上，實數a的取值范圍a=0，或a＞．…（12分）
分析：（1）由，知函數的定義域為D=．再由y=f（x）是偶函數，故定義域D關于原點對稱．由此能求出b．
（2）由（1）可知，． 由的圖象，可知：f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（-∞，0）上是減函數，由此推導出不存在正實數m，n，滿足題意．
（3）由（1）可知，．的圖象，知f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（-∞，0）上是減函數，由此能求出實數a的取值范圍．
點評：本題考查函數的奇偶性的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．