Question

已知橢圓方程是橢圓的左焦點(diǎn)，直線l為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，直線l與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長(zhǎng)軸，過(guò)P點(diǎn)任作一條割線AB（如圖），則∠AFM與∠BFN的大小關(guān)系為（ ）

A．∠AFM＞∠BFN
B．∠AFM＜∠BFN
C．∠AFM=∠BFN
D．無(wú)法判斷

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)AB斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN成立；當(dāng)AB斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，進(jìn)而可得直線AF，BF的斜率的和為0，從而可得結(jié)論．
解答：解：當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN=0．
當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
則△=（48m）²-4×144（3m²+4），
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
∴k_AF+k_BF=+===0
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜上可知：恒有∠AFM=∠BFN．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．