Question

（2012•福建模擬）對于非空實數集A，記A^*={y|?x∈A，y≥x}．設非空實數集合M⊆P，若m＞1時，則m∉P． 現給出以下命題：
①對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必存在常數a，使得對任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*；
其中正確的命題是

①④

（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由A*={y|?x∈A，y≥x}．可知：數集A^*是數集A的所有上界組成的集合．進而可通過舉例否定②③，對于①④還需要利用集合間的關系去證明．

解答：解：由A*={y|?x∈A，y≥x}．可知：數集A^*是數集A的所有上界組成的集合．
①分別用A_max、A_min表示集合A的所有元素（數）的最大值、最小值．
由M⊆P及A^*的定義可知：M_max≤

M

* min

，P_max≤

P

* min

，

M

* min

≤P_max，∴

M

* min

≤

P

* min

，∴必有P^*⊆M^*．故①正確．
②若設M=（-∞，1）=P，滿足M⊆P，而M^*=[1，+∞），此時M^*∩P=∅，故②不正確．
③若設M=（-∞，1]=P，滿足M⊆P，而P^*=[1，+∞），此時M∩P^*={1}≠∅．
④由①可知：對于M⊆P，必有P*⊆M*；取a=

P

* min

-

M

* min

，則對于任意的b∈M*，必恒有a+b∈P^*．
故正確命題是①④．

點評：本題考查了新定義，理解數集A*是數集A的所有上界組成的集合及集合間的關系是解決問題的關鍵．