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（本小題滿分15分）

已知函數(shù).

(Ⅰ) 若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求 的值；

(Ⅱ) 求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度 的取值范圍.

 

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中 的運用。

（1）先求解函數(shù)的定義域為，函數(shù)導數(shù)

所以曲線在點處的切線方程為：

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.

構(gòu)造函數(shù)令，則

對參數(shù)m討論得到結(jié)論。

（2））因為.

因為且對稱軸為，

，

所以方程在內(nèi)有兩個不同實根，

結(jié)合韋達定理得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

所以曲線在點處的切線方程為：

因為切線與曲線有唯一的公共點，

所以方程有且只有一個實數(shù)解，顯然是方程的一個解.

令，則

①當時，，

所以在上單調(diào)遞增，即是方程唯一實數(shù)解.

②當時，由得，，

在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；

所以函數(shù)在處有極大值，且；

而當，因此在內(nèi)也有一個解.

即當時，不合題目的條件.

綜上討論得.……………………………………………………………………………8分

（Ⅱ）.

因為且對稱軸為，

，

所以方程在內(nèi)有兩個不同實根，

即的解集為，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

由于，所以，

所以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.……………………15分

 

練習冊系列答案
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（本小題滿分15分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.

（ⅰ）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）若是兩個不相等的正數(shù)，且，求證：．

 

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(本小題滿分15分)．

已知、分別為橢圓：的

上、下焦點，其中也是拋物線：的焦點，

點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓：，過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：，（且）。求證：點Q總在某定直線上。

 

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(本小題滿分15分)

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（Ⅰ）若，且，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若求的最大值和最小值。

 

 

 

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（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出；若不是，說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

 

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（1）第1次抽到理科題的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；

（3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率

 

 

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